Исторические  задачи  на  арифметическую    прогрессию                               

       Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства.

    Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским учёным. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать.

Задача 1 

из древнеегипетского папируса Ахмеса  (ок. 2000 до н. э.)

    «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 людьми так, чтобы разность мер ячменя, полученного каждым человеком и его соседом, равнялась 1/8 меры».

Задача 2 

из древнеегипетского папируса Ахмеса  (ок. 2000 до н. э.)

    «Сто мер хлеба разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвертый больше третьего и пятый больше четвертого. Кроме того двое первых должны получить в семь раз меньше трех остальных. Сколько нужно дать каждому?»

Решение (1 способ)

     Очевидно, доли хлеба, полученные участниками, составляют возрастающую арифметическую прогрессию. Пусть первый её член х, разность y. Тогда доля первого - х, доля второго - (х + у), третьего - (х + 2y), доля четвертого - (х + 3y), доля пятого - (х + 4y). На основании условий задачи составляем следующие два уравнения:

1. x+(x+y)+(x+2y)+(x+3y)+(x+4y)=100;

2. 7(x+(x+y))=(x+2y)+(x+3y)+(x+4y).

После упрощений первое уравнение примет вид:

x + 2y = 20, а второе: 11х = 2y. 

Решение (2 способ)

    Рассмотрим арифметическую прогрессию и составим систему.

Задача 3 

древневавилонская 

    «10 братьев,2 целых 1/3 мины серебра. Брат над братом поднимается, на сколько поднимается, не знаю. Доля восьмого 6 шекелей. Брат над братом – на сколько выше?» (1 мина = 60 шекелям).

Решение 1. Это решение позволит  понять решение из вавилонской клинописи.

    Решение можно пояснить графиком. Тогда на графике   а_ср = 10 есть высота точки М (см. рис.).

Решение 2. Надо найти разность арифметической прогрессии.

    Итак,  1 целая 2/3 мины (1 мина = 60 шекелям) серебра требуется разделить между 10 братьями так, чтобы доли братьев составляли арифметическую прогрессию. Требуется найти разность прогрессии, зная, что восьмой брат получает 6 шекелей. 

Задача 4

из руководства по математике "Задачи для изощрения ума юношей" Алкуин 

(около 735-804 г.г.г)

     «Лестница имеет 100 ступеней. На первой ступени сидит один голубь, на второй – два, на третьей – три, так на всех ступенях до сотой. Сколько всего голубей?»

Решение. Надо найти сумму арифметической прогрессии.

1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100 = (1 +100) + (2 + 99) + … + (50 + 51) = 5050.

Ответ: 5050 голубей.

Задача 5 

из "Арифметики" Л. Ф. Магницкого (1703г.)

       Учебник Л. Ф. Магницкого, изданный 300 лет назад, служил целых полвека основным  руководством для школьного обучения.

«Купец имел 14 чарок серебряных, причём веса чарок растут по арифметической прогрессии с разностью 4. Последняя чарка весит 59 латов. Определить, сколько весят все чарки».

Решение. Надо найти сумму арифметической прогрессии.