Геометрическая прогрессия в русских задачах

     Задачи на геометрические прогрессии встречаются в русских учебниках Л. Ф. Магницкого, Е. Войтяховского и других математиков. Я. И. Перельман, не сохраняя языка подлинника, собрал задачи в своих книгах.

Я. И. Перельман
1982-1942
Русский и советский математик, физик, журналист и педагог

Задача 1

Садовник продал первому покупателю половину всех своих яблок и ещё пол-яблока, второму покупателю - половину оставшихся и ещё пол-яблока: третьему - половину оставшихся и ещё пол-яблока и т. д. Седьмому покупателю он продал половину оставшихся яблок и ещё пол-яблока; после этого яблок у него не осталось. Сколько яблок было у садовника?

Решение 1 из книги с  помощью геометрической прогрессии

   Пусть первоначальное число яблок х, тогда 

Ответ:  127 яблок.

Решение 2.  Данную задачу  можно решить с конца.

    Седьмой покупатель получил 1 яблоко (половина оставшихся яблок – это пол-яблока и ещё пол-яблока).

Шестой покупатель - 2 яблока.

Пятый покупатель  - 4 яблока.

Четвёртый покупатель  -  8 яблок.

Третий покупатель - 16 яблок.

Второй покупатель - 32 яблока.

Первый покупатель - 64 яблока.

Всего было 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 127 яблок.

Ответ:  127 яблок.

   Задача 2

       Крестьянин продавал стадо овец. Первому покупателю он продал половину всех бывших у него овец и еще пол-овцы, второму - половину оставшихся овец и ещё пол-овцы, третьему - половину оставшихся овец и еще пол-овцы и т. д. Когда он, наконец, продал пятому покупателю половину оставшихся овец и пол-овцы, то оказалось, что он продал все стадо и ни одной овцы пополам резать не пришлось. Сколько овец было в стаде первоначально?

Решение 1 из книги с нашими дополнениями

   Пусть первоначальное число овец х, тогда 

Ответ: 31 овца.

Решение 2.  Данную задачу  можно решить с конца.

  Последнему - пятому покупателю досталось одна овца. Значит, четвертому досталось 2 овцы, третьему - 4, второму - 8 и первому - 16.

 Всего же овец было 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31.

Таким образом, у крестьянина в стаде была 31 овца.

Ответ: 31 овца.

   Задача 3

Для данной задачи нашли 3 способа решения.

Крестьянин пришел к царю и попросил: "Царь, позволь мне взять одно яблоко из твоего сада". Царь разрешил. Пошел крестьянин к саду и видит: весь сад огорожен тройным забором, в каждом заборе есть только одни ворота, и около каждых ворот стоит сторож. Когда крестьянин проходил мимо первого сторожа, тот сказал ему: "Возьми яблоки, но при выходе отдашь мне половину яблок, которые у тебя будут, и ещё одно". То же сказали ему и другие сторожа, охранявшие ворота.     Сколько яблок должен взять крестьянин, чтобы, отдав положенные части трём сторожам, унести домой одно яблоко?

Решение 1. Решим задачу с конца.

1) (1 + 1) ∙ 2 = 4 яблока должно быть у крестьянина перед третьим сторожем.
2) (4 + 1) ∙ 2 = 10 яблок должно быть у крестьянина перед втором сторожем.
3) (10 + 1) ∙ 2 = 22 яблока должен взять из сада крестьянин.

Ответ: 22 яблока.

Решение 2

   Предположим, что крестьянину надо собрать х яблок. 

22 яблока должен собрать крестьянин, чтобы у него осталось 1 яблоко.

Ответ 22 яблока.

Решение 3

Решая задачу, мы заметили геометрическую прогрессию, в которой   

Ответ: 22 яблока.

    Задача 4 

Текст задачи  из Арифметики Л. Ф. Магницкого.

    "Некий человек продае коня за 156 рублев; раскаявся же, купец нача отдавати продавцу, глаголя: "Яко несть мне лепо взяти сицевого коня, недостойного такие высокие ценыа.

    Продавец предложи ину куплю, глаголя: "Аще те мнится велика цена сему коню быти, убо купи гвоздие, их же сей конь имать в подковах своих ног, коня же возьми за тою куплею в дар себе. А гвозди во всякой подкове по шести и за един гвоздь даждь ми полушку, за другой же две полушки, а за третий копейку, и тако все гвозди купи. Купец лее, видя столь малую цену и коня хотя в дар себе взяти, обещал таку цену платити, чая не больше 10 рублев за гвоздие дати. И ведательно есть, колико купец-он проторговался?"

 Текст задачи из книги Я. И. Перельмана «Занимательная алгебра».

Некто продал лошадь  за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лошадь, раздумал её покупать и возвратил её продавцу, говоря:

- Нет мне расчёта покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

Тогда продавец предложил другие условия:

- Если по-твоему цена лошади высока, то купи только её подкованные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего 1/2 коп., за второй - 1/4 коп., за третий  - 1 коп. и т. д.

Покупатель, соблазнённый низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей.

На сколько покупатель проторговался?

Решение 1 из книги Я. И. Перельмана

За 24 подкованных гвоздя пришлось уплатить:

При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

 41943 – 156 = 41787 руб. на столько покупатель проторговался.

Ответ: на  41787 рубля.

 

Решение 2 по формуле суммы геометрической прогрессии

42000 – 156 = 41844 руб. на столько покупатель проторговался.

Ответ: на  41844 рубля.

   Задача 5

       Из старинного русского учебника математики «Полный курс чистой математики, сочинённый Артиллерии Штык-Юнкером и математиком партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употребление юношества и упражняющихся в математике» (1795 г.)

     «Служившему воину дано вознаграждение за первую рану 1 копейка, за другую - 2 копейки, за третью - 4 копейки и т. д. По исчислению нашлось, что воин получил всего вознаграждения 655 руб. 35 коп. Спрашивается число его ран».

Решение 1 из книги Я. И. Перельмана

Составляем уравнение

65535 = 1 + 2 + 2² + 2³ + … + 2^х-1

    

    Воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоится награды в 655 руб. 35 коп.

Ответ: 16 ран.

Решение 2 с помощью формулы суммы геометрической прогрессии

Нам дана геометрическая прогрессия: b₁ =1, S_n = 65535. Надо найти  n.

Ответ: 16 ран.

 Задача 6  

  Русский фольклор

“Шли семь старцев,

У каждого старца

По семи костылей,

На каждом костыле

По семи сучков,

На каждом сучке

По семи кошелей,

В каждом кошеле

По семи пирогов,

А в каждом пироге

По семи воробьев.

Сколько всего?”

Решение 1 старинное 

Старцев – 7, Костылей – 7² = 49, сучков на костылях – 7³ = 343,

кошелей – 7⁴ = 2401,   пирогов – 7⁵ = 16807, воробьёв – 7⁶ = 117649.

Всего: 7 + 49 + 343 + 2401 + 16807 + 117649 = 137256.

Ответ: 137256.

Решение  2 с помощью формулы суммы геометрической прогрессии 

С точки зрения геометрической прогрессии имеем:

b₁ = 7, q = 7,  n = 6.

Ответ: 137256.

   Задача 7

       Легенда о шахматной доске. Книга Якова Исидоровича Перельмана «Живая математика».

    В Древней Индии мудрец по имени Сесса придумал правила новой игры и преподнёс игру в дар царю Шераму. Царь был очарован и предложил создателю игры самому выбрать награду. Тот скромно попросил у царя немного зерна: одно пшеничное зерно положить на 1-ю клетку доски, два — на 2-ю, четыре — на 3-ю и т.д. — на каждую следующую клетку в два раза больше, чем на предыдущую.

     На что царь ответил с раздражением: «Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию, но просьба не достойна моей щедрости». 

Сколько зерна должен получить Сесса?

 Решение 1 из книги Я. И. Перельмана

Начав с единицы, нужно сложить числа: 1, 2, 4, 8 и т. д. Иначе эту сумму можно записать так:

 1 + 2 + 4 + 8 + . . . = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + . . . + 2⁶³.

 Последнее слагаемое показывает, сколько причиталось изобретателю за 64-ю клетку доски.

Упростим полученную сумму исходя из следующих соображений. Обозначим

 S = 2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + . . . + 2⁶³,  тогда

 2S = 2 · (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + . . . + 2⁶³) = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2⁶⁴

 S = 2S – S = (2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + . . . + 2⁶⁴) – (2⁰ + 2¹ + 2² + 2³ + . . . + 2⁶³) =

    = 2⁶⁴ – 2⁰ = 2⁶⁴ – 1.

 Необходимое число зёрен  S = 2⁶⁴ – 1.

S = 18 446 744 073 709 551 615.

Ответ: 18 446 744 073 709 551 615.

Это количество зерна примерно в 1800 раз превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества.

Решение 2 с помощью формулы суммы геометрической прогрессии

b₁ = 1, q = 2.

Ответ: 18 446 744 073 709 551 615.

 

Задача 8

Из книги Я. И. Перельмана «Живая математика» 1967 г.

По сообщению одной газеты 1914 года, у судьи в городе Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию: уплатить за первую овцу 1 копейку, за вторую – 2 копейки, за третью – 4 копейки и т. д. Очевидно покупатель соблазнился надеждой дешево купить. Подсчитать, какую сумму он должен уплатить.

Л. Ф. Магницкий не без основания снабдил решение своей задачи предупреждением:

«Хотя туне притяжати,

От кого что приимати,

Да зрит то себе опасно…»

То есть, если кто-нибудь соблазнится кажущейся дешевизною покупки, то он может попасть в неприятное положение. 

Решение

Рассмотрим геометрическую прогрессию, в которой b₁ = 1, n = 20, q = 2.

Ответ: 10485 рублей 75 копеек.

    Задача 9

          Из книги Я. И. Перельмана «Живая математика» 1967 г.

В небольшой городок с 50-тысячным населением приехал в 8 час. утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость. В доме, где приезжий остановился, он сообщил новость только трём местным жителям; это заняло, четверть часа. Итак, в 8.15 утра новость была известна в городе всего только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её 3 другим. Это потребовало также четверти часа, и т. д. Через какое время новость распространится по всему городу?

Решение 1

Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её 3 другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней знало уже 4 + (3 ∙ 3) = 13 человек.

Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый узнавший про новость успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию: в 9 час. новость узнают: 40 + 3 ∙ 27 = 121 чел.

В 9.15 новость узнают: 121 + 3 ∙ 81 = 364 чел.

 В 9.30 новость узнают: 364 + 3 ∙ 243 = 1093 чел.

Спустя полтора часа от начала движения слуха новость будут знать всего около 1100 человек.

 В 9.45 новость узнают: 1093 + 3 ∙ 729 = 3280 чел.

 В 10.00 новость узнают: 3280 + 3 ∙ 2187 = 9841 чел.

 В 10.15 новость узнают:  9841 + 3 ∙ 6561 = 29524.

Следовательно, ранее, чем к 10.30 все жители будут знать новость, которая в 8 часов утра была известна только одному человеку.

Решение 2

Можно заметить, что каждые 15 минут число жителей, которые узнают новость, увеличивается в 3 раза: 1, 3, 27, … Сумма жителей в городе равна 50000.

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + … = 50000

b₁ = 1, q = 3, S = 50000

Задача 10 

Из книги Я. И. Перельмана «Живая математика» 1967 г.

В дореволюционные годы были у нас, — а за рубежом, вероятно, и теперь еще находятся, — предприниматели, которые прибегают к довольно оригинальному способу сбывать свой товар, обычно посредственного качества. Начинали с того, что в распространенных газетах и журналах печатали рекламу такого содержания:

Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычной покупки. В ответ на запрос они получали подробный проспект, из которого узнавали следующее.

За 10 руб. высылался пока не сам велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 руб. своим четверым знакомым. Собранные таким образом 40 руб. следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился покупателю действительно всего в 10 руб., остальные 40 руб. уплачивались ведь не из его кармана. Правда, кроме уплаты 10 руб. наличными деньгами, приобретающий велосипед имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, — но этот маленький труд в счёт не шёл.

Что же это были за билеты? Какие блага приобретал их покупатель за 10 руб.? Он получал право обменять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими словами, он приобретал возможность собрать 50 руб. для покупки велосипеда, который ему обходился, следовательно, только в 10 руб., т. е. в стоимость билета. Новые обладатели билетов в свою очередь получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распространения, и т. д.

На первый взгляд во всём этом не было обмана. Обещание рекламного объявления исполнялось: велосипед, в самом деле, обходился покупателям всего лишь в 10 руб. Да и фирма не оказывалась в убытке, — она получала за свой товар полную его стоимость. Кому выгодна эта затея?

Решение

Рассмотрим последовательность:

1 + 4 + 20 + 100 + 500 +  2500 +  12500 +  62500 + …

Рассмотрим прогрессию: b₁ = 4, q = 5.

По формуле  геометрической  прогрессии получаем:

  

5ⁿ – 1 + 1 = 5ⁿ – число жителей города вместе с 1-м покупателем. 

Числовой великан, невидимо скрывающийся за этой затеей, наказывает тех, кто не умеет воспользоваться расчётом для ограждения собственных интересов от посягательства аферистов.

Ответ: затея выгодна продавцам велосипедов.

    Задача 11

          Из книги Я. И. Перельмана «Живая математика» 1967

Богач-миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была по дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды. Рассказывает он домашним: «Вот и на мою деньгу денежка бежит. Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Предложил выгодное дельце, что у меня дух захватывает».

 «Сделаем,- говорит,- такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей.  Недаром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день  я должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего одну копейку. А за вторую сотню тысяч-2 копейки. И так целый месяц, каждый день вдвое больше предыдущего. Находим выгодность сделки.

Решение

Рассмотрим прогрессию: b₁ = 1, q = 2, n = 30.

По формуле  геометрической  прогрессии получаем:

Это составляет 10 737 418 р. 23 к.

Ответ: сделка невыгодна для богача.

Наша задача

Каждую весну, когда на реке Клязьма разрушается ледяной покров, уровень воды поднимается. На 24 марта 2022 г. уровень воды в реке Клязьма по данным гидропоста, находящегося в г. Вязники, составляет 83 cм над нулем поста.

        За прошедшие 24 часа уровень повысился на 3 см. В последующие дни он будет увеличиваться вдвое в течение 6 дней. Далее наступает период, когда река «стоит», то есть уровень воды не изменяется. Это продолжается 2 дня. После этого вода убывает.  Какой будет уровень воды  в реке через 6 дней?

Решение

b₁ = 3, q = 2, n = 9.

80 + 189 = 269 см

Ответ: 269 см.