Учёные-математики и их вклад  в 
изучение арифметической
прогрессии

 

Пифагор

570 г. до н.э. - 495 г. до н.э.

Древнегреческий философ,  математик

    Пифагор занимался изучением последовательностей. В таблице Пифагора можно наблюдать различные закономерности чисел.  Соседние числа в каждом столбце или строке различаются на номер соответственно строки или столбца.  Все числа на этой диагонали — квадраты.Числа на второй диагонали:

 2, 6, 12, 20, 30, ... подчиняются следующей закономерности: N-е число в этой последовательности равно N • (N + 1) или N² + N. Иначе говоря, N-е число на второй диагонали больше N-го числа на главной диагонали ровно на N.

Архимед

287 г. до н.э. - 212 г. до н.э.

Древнегреческий учёный и инженер

Книга "Исчисление песчинок"

  Архимед для нахождения площадей и объёмов фигур применял “атомистический метод”, для чего ему потребовалось находить суммы членов некоторых последовательностей. Он вывел формулу суммы квадратов натуральных чисел и показал, как найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. В «Псаммите» («Исчислении песчинок») Архимед впервые сопоставляет арифметическую и геометрическую прогрессии.

Диофант

         III в. н. э.         

Древнегреческий математик

Книга «О многоугольных числах»

    Формула суммы членов арифметической прогрессии была доказана древнегреческим учёным Диофантом. Он изображал числа в виде многоугольников.  На клетчатой бумаге любая арифметическая прогрессия изображается ступенчатой фигурой. Сложим два одинаковых многоугольных числа в один прямоугольник. Одно многоугольное число будет составлять половину такого прямоугольника. Доказательство этого факта посвящено у Диофанта предложение III.

Чжан Цю-цзянь

Около 430г.- 490г.

Китайский математик

Книга «Счётный канон Чжан Цю-цзяня»

  Цю-цзянь  написал между 468 и 486 годами книгу «Чжан Цю-цзянь суань цзин» («Счётный канон Чжан Цю- цзяня»/«Математический трактат  Чжан Цю-цзяня»), в которой впервые в Китае формулируется правило суммы  арифметической прогрессии и показывается способ решения истинных   неопределённых уравнений («Задача о сотне птиц» – бай цзи ти).

Ариабха́та

476г.—550г.

Индийский астроном и математик

Книга «Ариабхатия»

  Самым известным сочинением на тему математики в Индии является «Ариабхатия» Ариабхаты, состоящая из 4 частей и содержащая 123 кратких стиха. Ариабхата знал формулы для общего члена, суммы арифметической прогрессии.

   Суммирование числовых рядов интересовало многих индийских математиков. Ариабхата приводит правила суммирования рядов треугольных чисел, натуральных квадратов и кубов.

Боэций Аниций  Манлий Северин

480г. – 524г.

Римский учёный, философ

    Термин “прогрессия” был введён римским философом Боэцием и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. Названия “арифметическая” и “геометрическая” были перенесены из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

Махавира

850 г.

Индийский математик

Книга  «Ганита-сара-самграха»

   В «Ганита-сара-самграха» Махавиры даны систематические правила выражения дроби как суммы долей единицы. В книге приводится следующее правило: Когда результат равен единице, знаменатели величин, имеющих единицу в числителе, - это [числа], начинающиеся с единицы и умноженные на три по порядку. Первое и последнее умножаются на две и две трети [соответственно].

Леонардо Пизанский

1170г. – 1250г.

Итальянский математик

«Книга абака»

       Правило для нахождения суммы членов произвольной арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абака» в 1202г. у Леонардо Пизанского.

Нараяна Пандит

1325г.–1400г.

Индийский математик

Трактат «Ганита Каумуди»

  Нараяна Пандит написал две работы: арифметический трактат под названием «Ганита Каумуди» и алгебраический трактат под названием «Биджаганита Ватамса». Он изучал сверхзолотое сечение.

Сверхзолотое сечение возникает в следующей задаче, которая является аналогом задачи о кроликах Фибоначчи.

 «Вначале есть одна молодая пара рогатого скота. Через три месяца после рождения они могут размножаться и с этого момента размножаются каждый месяц, рождая разнополую пару. Сколько пар будет через n месяцев?» 

  Решением этой задачи является так называемая последовательность коров Нараяны, названная в его честь. Эта последовательность начинается следующим образом:

1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, ...

Фрагмент страницы книги

Никола́ Шюке́

1445— около 1488

 Французский математик

Трактат «Наука о числах в трёх частях» 

   В 1484 году Шюке написал обстоятельный алгебраический трактат «Наука о числах в трёх частях». Он сопоставил арифметическую и геометрическую прогрессии. После чего отметил, что произведению двух членов нижней прогрессии соответствует сумма стоящих над ними членов верхней. 

 Баше де Мезириак

1581г. - 1638г.

Французский математик

Книга «Problèmesplaisants»

  В 1612 году Баше опубликовал сборник занимательных арифметических задач «Problèmesplaisants». Он высказал предположение о представимости любого натурального числа в виде суммы не более четырёх квадратов, но не доказал.

Джон Валлис 

      1616г. –1703г.

         Английский математик

             Книга «Арифметика бесконечного»

     В 1655 году Валлис издаёт большой трактат «Арифметика бесконечного», где появляется придуманный им символ бесконечности: ∞.  В книге он формулирует строгое определение предела переменной величины, продолжает многие идеи Декарта, впервые ввёл отрицательные абсциссы, вычисляет суммы бесконечных рядов – по существу интегральные суммы, хотя понятия интеграла тогда ещё не было. Там же приводится знаменитая формула Валлиса: 

    

Она является одним из первых примеров бесконечного произведения.

  

Страницы учебника

Лео́нтий Фили́ппович Магни́цкий

1669г.-1739г.

Русский математик

«Арифметика»

   Учебник Магницкого составлен из двух книг. Первая книга, посвященная арифметике, а также логарифмам и прогрессиям, включает в себя пять частей. Термины в «Арифметике» изложены с помощью житейских образов, а задачи имеют прикладной характер.

Карл Гаусс

1777г.- 1855г.

Немецкий математик

Книга «Арифметические  исследования»

     Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе, который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Учитель предложил учащимся сложить все натуральные числа от 1 до 100. Маленький Гаусс решил эту задачу за минуту. Сообразив, что суммы 1+100, 2+99 и т. д. равны, он умножил 101 на 50, т. е. на число таких сумм. Он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.    

    10 июля 1796 года Карл Фридрих Гаусс сделал своё первое открытие в теории чисел. Он доказал,  что любое натуральное число может быть представлено как сумма не более чем трёх треугольных чисел. 

     Через пять лет его труд был опубликован под названием «Арифметические исследования». Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел; всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных; всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел и так далее. Гаусс доказал относительно треугольных чисел.