Современное исследование прогрессий

        

        Исследование прогрессий продолжается. Арифметическая прогрессия помогает решать задачи в других областях математики. Возникают новые направления в науке.

        Так в результате взаимодействия теории чисел, комбинаторики, эргодической теории и гармонического анализа возникла арифметическая комбинаторика. 

        Что она изучает?

Гипотеза о том, что во множестве простых чисел найдётся арифметическая прогрессия любой длины, имеет более чем двухвековую историю. Первые упоминания о прогрессиях в простых числах можно найти в переписке Лагранжа и Варинга ещё в 1770 году. 

В 1927 году Б. Л. Ван дер Варден доказал свою знаменитую теорему об арифметических прогрессиях.

Между тем первые достижения в этой области относятся лишь к 1938 году, когда Н. Г. Чудаков, используя метод тригонометрических сумм И. М. Виноградова, доказал, что множество простых чисел содержит арифметические прогрессии длины три. 

Чудаков Н. Г. 
14.12.1904 - 22.11.1986 

Что касается прогрессий длины больше, чем три, то до последнего времени этот вопрос оставался открытым. Для поиска прогрессий в простых числах применялись компьютеры.

В 1995 году А. Моран, П. Притчард и Э. Тайссен  обнаружили, используя компьютер, следующую арифметическую прогрессию длины 22, составленную из простых чисел: 11410337850553 + 4609098694200k, где k = 0, 1, . . . , 21. Этот рекорд держался почти 10 лет. 

В 2004 году М. Фрайнд, П. Джоблин и П. Андервуд нашли прогрессию из простых чисел длины 23. Эта прогрессия начиналась с 56211383760397 и имела разность 44546738095860.

В 2004 году Б. Грин и Т. Тао  доказали следующий результат о прогрессиях в простых числах.

Теорема Грин, Тао.

     Для всех натуральных k > 3 множество простых чисел содержит арифметическую прогрессию длины k.

Интересно, что на настоящий момент самая длинная из прогрессий, в которой есть только простые числа, состоит всего из 26 членов. Этот пример был найден в 2010 году:  43 142 746 595 714 191 + 23 681 770·223 092 870·n, где n принимает значения от 0 до 25.

Знаменитая теорема Э. Семереди об арифметических прогрессиях утверждает, что любое подмножество целых чисел положительной асимптотической плотности содержит арифметические прогрессии любой длины. 

Эндре Семереди
21.08.1940 

 Из этой замечательной теоремы выросла новая большая область - комбинаторная теория чисел.

Другое направление – это  аддитивная комбинаторика.  Этот раздел математики промежуточный между комбинаторикой и теорией чисел.  Типичными аддитивно-комбинаторными вопросами являются: верно ли, что любое достаточно "плотное" множество обязано содержать решения линейных уравнений, например, арифметические прогрессии.

Учёные сделали такой вывод.

Не бывает арифметических прогрессий, состоящих только из простых чисел, с бесконечным количеством членов. Однако существуют сколь угодно длинные такие последовательности.

О новых направлениях в математике рассказывает  доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова, профессор кафедры теории динамических систем Механико-математического факультета МГУ.

    Математик Илья Шкредов о структуре и случайности в дисциплине, плотности множества и арифметической прогрессии

Примеры простых чисел в арифметической прогрессии

Тайны простых чисел

Несмотря на то, что простые числа изучаются уже более трех тысячелетий и имеют простое описание, о простых числах до сих пор известно мало. Например, математики знают, что единственной парой простых чисел, отличающихся на единицу, являются 2 и 3. Однако неизвестно, существует ли бесконечное количество пар простых чисел, отличающихся на 2. Предполагается, что существует, но это пока не доказано. Это проблема, над которой величайшие математические умы ломают голову уже более 100 лет. Это известная нерешенная проблема.